Сложный процент: формула, пример расчета и отличие от простого

Что такое сложный процент

Сложный процент — это начисление процентов не только на исходную сумму, но и на уже начисленные проценты. Каждый период проценты прибавляются к сумме (это называют капитализацией), и в следующий период ставка применяется к увеличенной сумме. Поэтому деньги растут не по прямой, а с ускорением.

Главная формула:

где:

• S — наращенная сумма в конце срока;
• P — начальная сумма (вклад, вложение, долг);
• r — годовая ставка в виде десятичной дроби: 12% → 0,12;
• m — число начислений (капитализаций) в год: 1 — раз в год, 4 — ежеквартально, 12 — ежемесячно;
• t — срок в годах.

Если проценты начисляются раз в год (m = 1), формула упрощается до S = P · (1 + r)ᵗ. Множитель (1 + r / m)^(m · t) называют коэффициентом наращения: он показывает, во сколько раз вырастет сумма.

Простой и сложный процент: в чем разница

При простом проценте доход каждый год считается от одной и той же начальной суммы, и проценты к ней не прибавляются:

Сумма растет одинаковыми шагами — по прямой линии. При сложном проценте каждый следующий шаг больше предыдущего, потому что база растет.

Пусть P = 100 000 ₽, ставка 10% годовых, срок 5 лет. Сравним простой процент и сложный с ежегодной и ежемесячной капитализацией:

Что видно из таблицы:

• за первый год при ежегодном начислении результаты совпадают — проценты еще не успели капитализироваться;
• дальше разрыв растет с каждым годом: 1 000 ₽, 3 100 ₽, 6 410 ₽, 11 051 ₽;
• чем чаще капитализация, тем больше итоговая сумма при той же ставке.

Простой процент применяют для краткосрочных операций и в некоторых вкладах, где проценты выплачиваются на карту и не прибавляются к сумме вклада. Сложный — во вкладах с капитализацией, при расчете роста инвестиций, наращения долга и в финансовой математике в целом.

Пример расчета: вклад с ежемесячной капитализацией

Условие: вклад 300 000 ₽ на 2 года под 12% годовых, проценты капитализируются ежемесячно. Какая сумма будет в конце срока?

1. Выписываем данные: P = 300 000, r = 0,12, m = 12, t = 2.
2. Ставка за один период: r / m = 0,12 / 12 = 0,01 (то есть 1% в месяц).
3. Число периодов: m · t = 12 · 2 = 24.
4. Коэффициент наращения: 1,01²⁴ ≈ 1,269735.
5. Наращенная сумма: S = 300 000 · 1,269735 ≈ 380 920,39 ₽.
6. Доход по вкладу: 380 920,39 − 300 000 = 80 920,39 ₽.

Для сравнения — тот же вклад без капитализации (простой процент):

Капитализация добавила 380 920,39 − 372 000 = 8 920,39 ₽ при той же ставке.

Результат проверен скриптом на Python:

В реальных вкладах доход по процентам может облагаться НДФЛ, а условия начисления (по календарным месяцам, по дням) прописаны в договоре. В учебных задачах налог обычно не учитывают, если это не сказано в условии.

Как частота капитализации влияет на результат

Возьмем снова 100 000 ₽ под 10% годовых на 5 лет и будем менять только m:

Переход от ежегодной капитализации к ежемесячной заметно увеличивает доход, а от ежемесячной к ежедневной — уже мало. Рост замедляется и стремится к пределу при непрерывном начислении: S = P · eʳᵗ (здесь e ≈ 2,71828). Для нашего примера это примерно 164 872 ₽.

Эффективная годовая ставка

Ставка 10% «с ежемесячной капитализацией» и ставка 10% «с выплатой раз в год» — это разная доходность. Чтобы сравнить такие предложения, считают эффективную годовую ставку — какую доходность за год дает номинальная ставка с учетом капитализации:

Примеры для номинальной ставки 10%:

• ежеквартально: (1 + 0,10 / 4)⁴ − 1 ≈ 0,10381 → 10,38%;
• ежемесячно: (1 + 0,10 / 12)¹² − 1 ≈ 0,10471 → 10,47%.

Для вклада из примера (12% с ежемесячной капитализацией) эффективная ставка 1,01¹² − 1 ≈ 12,68%. Банки часто указывают в рекламе именно эффективную ставку («доходность с учетом капитализации»), а в договоре — номинальную. Сравнивать нужно одинаковые показатели.

Правило 72: за сколько лет удвоятся деньги

Быстрая оценка без калькулятора: разделите 72 на годовую ставку в процентах — получите примерное число лет до удвоения суммы при ежегодной капитализации.

Правило приближенное: оно хорошо работает для ставок примерно от 5 до 15% и неточно для очень больших ставок. Точный срок получают из формулы сложного процента, решив уравнение 2 = (1 + r)ᵗ: t = ln 2 / ln(1 + r).

Как найти начальную сумму, ставку или срок

Из основной формулы можно выразить любую величину. Это нужно в задачах «сколько положить сегодня, чтобы через 3 года получить 500 000 ₽».

• Начальная сумма (дисконтирование): P = S / (1 + r / m)^(m · t).
• Срок: t = ln(S / P) / (m · ln(1 + r / m)).
• Ставка при ежегодном начислении: r = (S / P)^(1 / t) − 1.

Например, сумма, которую нужно положить под 10% годовых с ежегодной капитализацией, чтобы через 5 лет получить 161 051 ₽: P = 161 051 / 1,1⁵ = 100 000 ₽. На той же идее — приведении будущих денег к сегодняшнему дню — построены NPV и IRR инвестиционного проекта. А равные платежи по кредиту считаются через сложный процент в формуле аннуитетного платежа.

Расчет сложного процента в Excel

В Excel будущую стоимость считает функция БС (в английской версии — FV):

• ставка — ставка за один период (годовая / m);
• кпер — число периодов (m · t);
• плт — регулярное пополнение за период (если пополнений нет — 0);
• пс — начальная сумма со знаком минус;
• тип — 0 или 1: пополнение в конце или в начале периода (можно не указывать).

Для вклада из примера:

Минус перед начальной суммой нужен потому, что Excel считает вложенные деньги и полученные деньги потоками с разными знаками. Без минуса результат будет отрицательным.

Можно обойтись и без функции: =300000*(1+12%/12)^24 даст тот же результат. Для таблицы по годам удобно записать начальную сумму в ячейку B2, а в B3 формулу =B2*(1+$E$1), где в E1 — ставка, и протянуть вниз. Если нужно построить по таблице график, пригодится инструкция как сделать график в Excel для курсовой.

Если хотите, чтобы специалист проверил решение задачи по финансовой математике, — посмотрите консультации по экономике.

Частые вопросы