Обратная матрица: как найти через алгебраические дополнения и методом Гаусса — Жордана

Что такое обратная матрица

Обратная матрица A⁻¹ — это такая матрица, что при умножении на исходную получается единичная: A·A⁻¹ = A⁻¹·A = E. Найти ее можно двумя способами: через алгебраические дополнения (присоединенную матрицу) или методом Гаусса — Жордана. Ниже один и тот же пример 3×3 решен обоими способами, а в конце — проверка.

Обратная матрица существует только у квадратной матрицы с ненулевым определителем. Если det A = 0, матрица называется вырожденной, и обратной у нее нет. Поэтому первый шаг в любом способе — посчитать определитель. Как это делается, подробно разобрано в статье определитель матрицы.

Единичная матрица E — квадратная матрица, у которой на главной диагонали стоят единицы, а все остальные элементы равны нулю. Она играет роль единицы при умножении матриц: A·E = E·A = A.

Обратная матрица 2×2: формула

Для матрицы 2×2 есть короткая формула. Если первая строка матрицы (a, b), а вторая (c, d), то:

Правило легко запомнить: элементы главной диагонали меняются местами, у элементов побочной диагонали меняется знак, и все делится на определитель.

Пример. Матрица с первой строкой (5, 2) и второй строкой (7, 3).

1. Определитель: 5·3 − 2·7 = 15 − 14 = 1.
2. Меняем местами 5 и 3, у 2 и 7 меняем знак: первая строка (3, −2), вторая (−7, 5).
3. Делим на определитель, равный 1, — ничего не меняется.

Ответ: A⁻¹ имеет строки (3, −2) и (−7, 5). Проверка первой строки произведения: 5·3 + 2·(−7) = 1 и 5·(−2) + 2·5 = 0 — получилась первая строка единичной матрицы.

Как найти обратную матрицу 3×3 через алгебраические дополнения

Общая формула для любой невырожденной матрицы:

Здесь Aᵢⱼ — алгебраические дополнения, а Ã — присоединенная (союзная) матрица: матрица из алгебраических дополнений, транспонированная. Алгоритм:

1. Найти det A. Если он равен нулю — обратной нет, дальше не считаем.
2. Для каждого элемента найти минор Mᵢⱼ (определитель 2×2, который остается после вычеркивания i-й строки и j-го столбца) и алгебраическое дополнение Aᵢⱼ = (−1)ⁱ⁺ʲ · Mᵢⱼ.
3. Составить матрицу из дополнений и транспонировать ее — получится присоединенная матрица.
4. Разделить каждый элемент на det A.

Возьмем матрицу, на которой разберем оба способа:

Шаг 1. Определитель

Раскладываем по первой строке:

• a₁₁·A₁₁ = 1 · (+|1 −2; 2 −2|) = 1 · (1·(−2) − (−2)·2) = 1 · 2 = 2
• a₁₂·A₁₂ = 1 · (−|2 −2; 1 −2|) = −(2·(−2) − (−2)·1) = −(−2) = 2
• a₁₃·A₁₃ = (−1) · (+|2 1; 1 2|) = (−1) · (4 − 1) = −3

Определитель не равен нулю, значит обратная матрица существует. По правилу Саррюса получается то же самое: (−2 − 2 − 4) − (−1 − 4 − 4) = −8 + 9 = 1.

Шаг 2. Алгебраические дополнения

Знак (−1)ⁱ⁺ʲ чередуется в шахматном порядке: «+» в левом верхнем углу, дальше «−», «+» и так далее.

Шаг 3. Присоединенная матрица

Матрица дополнений по строкам: (2, 2, 3), (0, −1, −1), (−1, 0, −1). Транспонируем — строки становятся столбцами:

Шаг 4. Делим на определитель

Так как det A = 1, деление ничего не меняет:

Обратная матрица методом Гаусса — Жордана

Второй способ не требует считать девять миноров. Справа от матрицы A приписываем единичную матрицу и элементарными преобразованиями строк превращаем левую часть в E. Тогда справа окажется A⁻¹:

Разрешены три действия со строками: переставить две строки, умножить строку на ненулевое число, прибавить к строке другую строку, умноженную на число. Действовать нужно только со строками, а не со столбцами.

Расширенная матрица в начале — строки (левая часть | правая часть):

• (1, 1, −1 | 1, 0, 0)
• (2, 1, −2 | 0, 1, 0)
• (1, 2, −2 | 0, 0, 1)

Решение:

1. Обнуляем первый столбец под единицей. Из второй строки вычитаем первую, умноженную на 2: (0, −1, 0 | −2, 1, 0). Из третьей строки вычитаем первую: (0, 1, −1 | −1, 0, 1).
2. К третьей строке прибавляем вторую: (0, 0, −1 | −3, 1, 1). Левая часть стала треугольной.
3. Умножаем вторую и третью строки на −1, чтобы на диагонали были единицы: (0, 1, 0 | 2, −1, 0) и (0, 0, 1 | 3, −1, −1).
4. Обнуляем первую строку над диагональю: из первой строки вычитаем вторую и прибавляем третью: (1, 0, 0 | 2, 0, −1).

Итоговая расширенная матрица:

• (1, 0, 0 | 2, 0, −1)
• (0, 1, 0 | 2, −1, 0)
• (0, 0, 1 | 3, −1, −1)

Справа стоит та же матрица, что и в первом способе. Если в ходе преобразований в левой части получилась нулевая строка, значит det A = 0 и обратной матрицы нет. Тот же прием приведения к ступенчатому виду подробно разобран в статье про метод Гаусса.

Проверка: A·A⁻¹ = E

Проверку стоит делать всегда: она занимает пару минут и ловит почти все ошибки в знаках. Умножаем строки A на столбцы A⁻¹:

• первая строка A на первый столбец A⁻¹: 1·2 + 1·2 + (−1)·3 = 1;
• первая строка на второй столбец: 1·0 + 1·(−1) + (−1)·(−1) = 0;
• вторая строка на второй столбец: 2·0 + 1·(−1) + (−2)·(−1) = 1;
• третья строка на третий столбец: 1·(−1) + 2·0 + (−2)·(−1) = 1;
• третья строка на первый столбец: 1·2 + 2·2 + (−2)·3 = 0.

Остальные четыре элемента тоже дают нули, и в итоге получается единичная матрица. Мы дополнительно проверили результат в Python: numpy.linalg.inv дает ту же матрицу, а произведение A·A⁻¹ равно E.

Какой способ выбрать

Когда обратной матрицы нет

Обратная матрица не существует в двух случаях:

• матрица не квадратная (например, 2×3);
• определитель равен нулю.

Пример вырожденной матрицы: строки (1, 2) и (2, 4). Определитель 1·4 − 2·2 = 0, вторая строка в два раза больше первой. Формула требует деления на det A, а делить на ноль нельзя. Признаки, по которым det A = 0 видно сразу: нулевая строка или столбец, две одинаковые строки, одна строка пропорциональна другой.

Зачем нужна обратная матрица

Главное применение — решение матричных уравнений и систем. Систему A·X = B решают как X = A⁻¹·B. Например, для нашей матрицы A и столбца свободных членов B = (2, 1, 3):

• x₁ = 2·2 + 0·1 + (−1)·3 = 1;
• x₂ = 2·2 + (−1)·1 + 0·3 = 3;
• x₃ = 3·2 + (−1)·1 + (−1)·3 = 2.

Подстановка в первое уравнение: 1 + 3 − 2 = 2, сходится. Если в системе одна и та же матрица, но много разных правых частей, обратную матрицу выгодно найти один раз. Для одной системы обычно быстрее метод Крамера или Гаусс.

Важно помнить порядок множителей: уравнение X·A = B решается как X = B·A⁻¹, а не A⁻¹·B. Умножение матриц некоммутативно, и от перестановки множителей результат меняется.

Полезные свойства:

• (A⁻¹)⁻¹ = A;
• (A·B)⁻¹ = B⁻¹·A⁻¹ — порядок меняется;
• (Aᵀ)⁻¹ = (A⁻¹)ᵀ;
• det(A⁻¹) = 1 / det A.

Если хотите, чтобы специалист посмотрел ваше решение и показал, где закралась ошибка, — есть проверка расчетов.

Частые вопросы