Метод Крамера: решение систем линейных уравнений с примерами 2×2 и 3×3

Суть метода Крамера

Метод Крамера решает систему из n линейных уравнений с n неизвестными через определители. Каждое неизвестное равно дроби: в знаменателе — главный определитель системы Δ, в числителе — определитель Δᵢ, в котором i-й столбец заменен столбцом свободных членов:

Метод работает только при одном условии: Δ ≠ 0. Тогда система имеет единственное решение, и формулы Крамера его дают. Если Δ = 0, метод неприменим — нужно переходить к методу Гаусса.

Чтобы уверенно пользоваться методом, нужно уметь считать определители 2×2 и 3×3. Если с этим есть сложности, сначала посмотрите статью определитель матрицы — там разобраны правило Саррюса и разложение по строке.

Формулы Крамера

Для системы трех уравнений:

Обозначения:

• Δ — определитель из коэффициентов при неизвестных (матрица системы);
• Δ₁ — тот же определитель, но первый столбец (коэффициенты при x₁) заменен столбцом b₁, b₂, b₃;
• Δ₂ — заменен второй столбец;
• Δ₃ — заменен третий столбец.

Для системы 2×2 все то же самое, только определители второго порядка, а неизвестных два.

Откуда берутся формулы

Проще всего увидеть это на системе 2×2: a₁x + b₁y = c₁ и a₂x + b₂y = c₂. Умножим первое уравнение на b₂, второе на b₁ и вычтем второе из первого. Слагаемые с y сократятся:

Слева в скобках стоит главный определитель Δ, справа — определитель Δ₁, в котором столбец коэффициентов при x заменен свободными членами. Отсюда x = Δ₁/Δ. Так же исключается x, и получается y = Δ₂/Δ. Видно и то, почему нужно условие Δ ≠ 0: иначе на него нельзя разделить. Для систем 3×3 и больше формулы выводятся аналогично, через разложение определителя по столбцу.

Когда метод Крамера применим

Пример 2×2

Решим систему:

1. Главный определитель из коэффициентов: Δ = |2 3; 1 −1| = 2·(−1) − 3·1 = −2 − 3 = −5. Он не равен нулю, метод применим.
2. Заменяем первый столбец свободными членами 13 и −1: Δ₁ = |13 3; −1 −1| = 13·(−1) − 3·(−1) = −13 + 3 = −10.
3. Заменяем второй столбец: Δ₂ = |2 13; 1 −1| = 2·(−1) − 13·1 = −2 − 13 = −15.
4. Находим неизвестные: x = −10 / (−5) = 2, y = −15 / (−5) = 3.

Проверка подстановкой: 2·2 + 3·3 = 4 + 9 = 13 и 2 − 3 = −1. Оба уравнения верны. Ответ: x = 2, y = 3.

Метод Крамера для системы 3×3: пример

Решим систему:

Выпишем коэффициенты и свободные члены в таблицу — так проще не перепутать столбцы при замене:

Шаг 1. Главный определитель Δ

Считаем по правилу Саррюса. Со знаком плюс: 2·(−1)·1 = −2; 1·2·3 = 6; (−1)·1·2 = −2. Сумма: 2.

Со знаком минус: (−1)·(−1)·3 = 3; 2·2·2 = 8; 1·1·1 = 1. Сумма: 12.

Δ ≠ 0, значит решение единственное и метод Крамера применим.

Шаг 2. Определитель Δ₁

Первый столбец (2, 1, 3) заменяем столбцом свободных членов (0, 9, 7). Строки: (0, 1, −1), (9, −1, 2), (7, 2, 1).

• со знаком плюс: 0·(−1)·1 = 0; 1·2·7 = 14; (−1)·9·2 = −18. Сумма: −4;
• со знаком минус: (−1)·(−1)·7 = 7; 0·2·2 = 0; 1·9·1 = 9. Сумма: 16.

Шаг 3. Определитель Δ₂

Заменяем второй столбец. Строки: (2, 0, −1), (1, 9, 2), (3, 7, 1).

• со знаком плюс: 2·9·1 = 18; 0·2·3 = 0; (−1)·1·7 = −7. Сумма: 11;
• со знаком минус: (−1)·9·3 = −27; 2·2·7 = 28; 0·1·1 = 0. Сумма: 1.

Шаг 4. Определитель Δ₃

Заменяем третий столбец. Строки: (2, 1, 0), (1, −1, 9), (3, 2, 7).

• со знаком плюс: 2·(−1)·7 = −14; 1·9·3 = 27; 0·1·2 = 0. Сумма: 13;
• со знаком минус: 0·(−1)·3 = 0; 2·9·2 = 36; 1·1·7 = 7. Сумма: 43.

Шаг 5. Неизвестные

Шаг 6. Проверка подстановкой

Подставляем x = 2, y = −1, z = 3 в каждое уравнение:

• первое: 2·2 + (−1) − 3 = 4 − 1 − 3 = 0 — верно;
• второе: 2 − (−1) + 2·3 = 2 + 1 + 6 = 9 — верно;
• третье: 3·2 + 2·(−1) + 3 = 6 − 2 + 3 = 7 — верно.

Ответ: x = 2, y = −1, z = 3. Дополнительно мы проверили все четыре определителя и решение в Python (numpy.linalg.det и numpy.linalg.solve) — результаты совпали.

Проверка подстановкой обязательна: если хотя бы одно уравнение не сходится, ошибка почти наверняка в знаке одного из определителей. Пересчитайте его другим способом, например разложением по строке с нулем — в Δ₁, Δ₂ и Δ₃ такой ноль как раз есть.

Метод Крамера или метод Гаусса

Оба метода дают одинаковый ответ, если решение единственное. Различаются они объемом вычислений и областью применения.

Практический вывод: для 2×2 и 3×3 с удобными числами метод Крамера нагляден и легко проверяется. Для больших систем и для случая Δ = 0 используйте метод Гаусса, а свой ответ можно сверить в калькуляторе решения систем методом Гаусса.

Третий путь — матричный метод: X = A⁻¹·B. По сути, это те же формулы Крамера, записанные через обратную матрицу. Он удобен, когда одну и ту же матрицу системы нужно решать с разными правыми частями.

Как не ошибиться

• Перед заменой столбцов перепишите систему так, чтобы неизвестные стояли в одном порядке: x, y, z. Пропущенное неизвестное — это коэффициент 0, а не пустое место.
• Свободные члены переносите в правую часть со своим знаком. Уравнение x + 2y − 5 = 0 превращается в x + 2y = 5.
• Заменяйте столбец, а не строку. Δ₁ — это первый столбец, коэффициенты при x.
• Ищите нули: если в определителе есть строка или столбец с нулем, разложение по нему короче правила Саррюса.
• Всегда делайте проверку подстановкой во все уравнения, а не только в одно.

Если решение не сходится и вы не можете найти, где ошибка, специалист разберет его вместе с вами — для этого есть проверка расчетов.

Частые вопросы