Идея метода
Система линейных уравнений заменяется расширенной матрицей [A|b]. Элементарными преобразованиями строк матрицу приводят к ступенчатому виду, после чего неизвестные находят обратным ходом.
Допустимые преобразования:
- переставить две строки;
- умножить строку на ненулевое число;
- прибавить к строке другую строку, умноженную на число.
Они не меняют множество решений системы.
Прямой ход
На каждом столбце выбирают ведущий элемент и зануляют значения под ним. Численно устойчивее выбирать строку с наибольшим по модулю доступным элементом — это частичный выбор главного элемента.
Если текущий ведущий элемент равен нулю, нельзя просто делить на него. Сначала нужно переставить строки либо признать, что в этом столбце ведущего элемента нет.
Обратный ход
После получения верхнетреугольной системы последнюю неизвестную находят первой, затем подставляют ее в строку выше и продолжают снизу вверх.
Как определить тип системы
Если появилась строка вида:
система несовместна и решений нет.
Если противоречивых строк нет, но число ведущих переменных меньше числа неизвестных, появляются свободные переменные и решений бесконечно много.
Для квадратной матрицы A при det(A) ≠ 0 решение единственно.
Проверка решения
После получения вектора x подставьте его в исходную систему или вычислите A·x. Результат должен совпасть с b с учетом округления.
Матрицу, ранг, определитель и решение Ax=b можно проверить в калькуляторе высшей математики StudyHelper24.
Обсуждение
Пока никто не написал. Можно быть первым.