Определитель матрицы: как вычислить для 2×2, 3×3 и 4×4 — правило Саррюса, разложение по строке и метод Гаусса

Что такое определитель

Определитель (детерминант) — это число, которое ставится в соответствие квадратной матрице. Обозначают det A или |A|. У прямоугольной матрицы определителя нет.

Зачем он нужен на практике:

• если det A = 0, матрица вырожденная: у нее нет обратной, а система уравнений с такой матрицей не имеет единственного решения;
• если det A ≠ 0, обратная матрица существует, а систему можно решить методом Крамера или Гаусса;
• модуль определителя 2×2 и 3×3 равен площади параллелограмма и объему параллелепипеда, построенных на векторах-строках.

Определитель 2×2

Произведение элементов главной диагонали минус произведение элементов побочной:

Пример: для матрицы с первой строкой (3, 5) и второй строкой (2, 4) определитель равен 3·4 − 5·2 = 12 − 10 = 2.

Определитель 3×3: правило Саррюса (треугольников)

Возьмем матрицу, на которой разберем все три способа:

По правилу Саррюса складываем три произведения «по главной диагонали» и вычитаем три произведения «по побочной».

Со знаком плюс:

• 2 · 4 · 5 = 40
• (−1) · 0 · (−2) = 0
• 3 · 1 · 1 = 3

Сумма: 43.

Со знаком минус:

• 3 · 4 · (−2) = −24
• 2 · 0 · 1 = 0
• (−1) · 1 · 5 = −5

Сумма: −29.

Правило Саррюса работает только для 3×3. Для 4×4 и больше его применять нельзя.

Способ 2: разложение по строке

Определитель равен сумме произведений элементов любой строки (или столбца) на их алгебраические дополнения:

Минор Mᵢⱼ — определитель, который остается после вычеркивания i-й строки и j-го столбца. Знаки (−1)ⁱ⁺ʲ чередуются в шахматном порядке, начиная с «+» в левом верхнем углу.

Выгодно раскладывать по строке, где больше нулей. Во второй строке нашей матрицы есть ноль: (1, 4, 0).

• A₂₁ = (−1)³ · |−1 3; 1 5| = −((−1)·5 − 3·1) = −(−8) = 8
• A₂₂ = (−1)⁴ · |2 3; −2 5| = 2·5 − 3·(−2) = 16
• третье слагаемое равно нулю, потому что a₂₃ = 0

Ответ совпал. Этот способ подходит для матриц любого размера, но для 4×4 и больше вычислений становится много — тогда лучше метод Гаусса.

Способ 3: приведение к треугольному виду (метод Гаусса)

Определитель треугольной матрицы равен произведению элементов главной диагонали. Значит, достаточно элементарными преобразованиями получить нули под диагональю. Правила:

• прибавление к строке другой строки, умноженной на число, не меняет определитель;
• перестановка двух строк меняет знак;
• умножение строки на число k умножает определитель на k.

Решение:

1. Меняем местами строки 1 и 2, чтобы наверху была единица. Знак определителя меняется. Строки: (1, 4, 0), (2, −1, 3), (−2, 1, 5).
2. Из второй строки вычитаем первую, умноженную на 2: (0, −9, 3).
3. К третьей строке прибавляем первую, умноженную на 2: (0, 9, 5).
4. К третьей строке прибавляем вторую: (0, 0, 8).

Получили треугольную матрицу с диагональю 1, −9, 8. Ее определитель 1 · (−9) · 8 = −72. Учитываем одну перестановку строк:

Какой способ выбрать

Для 4×4 удобно комбинировать: сначала преобразованиями строк получить три нуля в одном столбце, затем разложить по нему — останется один определитель 3×3.

Свойства, которые экономят время

• Если в матрице есть нулевая строка или две одинаковые строки — det A = 0.
• Если одна строка пропорциональна другой — det A = 0.
• det(Aᵀ) = det A: все, что верно для строк, верно и для столбцов.
• det(A·B) = det A · det B.
• Общий множитель строки можно вынести за знак определителя.

Частые вопросы