Коэффициент вариации: формула, пример расчета, Excel и правило 33%

Что такое коэффициент вариации

Коэффициент вариации — это стандартное отклонение, выраженное в процентах от среднего значения. Он показывает, насколько сильно значения разбросаны вокруг среднего относительно самого среднего. Чем меньше коэффициент, тем однороднее данные и тем лучше среднее описывает типичное наблюдение.

Зачем нужен отдельный показатель, если уже есть дисперсия и стандартное отклонение? Стандартное отклонение измеряется в единицах данных: рублях, штуках, баллах. Поэтому его нельзя напрямую сравнить у двух показателей с разными единицами или с сильно разными средними. Отклонение 80 тыс. ₽ при средней выручке 490 тыс. ₽ и отклонение 3 человека при средней численности 13 человек — какой разброс больше? Коэффициент вариации отвечает на этот вопрос, потому что он безразмерный.

Формула коэффициента вариации

Основная формула — отношение стандартного отклонения к среднему арифметическому:

Здесь σ — стандартное отклонение, x̄ — среднее арифметическое. Если данные — выборка, в числитель ставят выборочное стандартное отклонение s (с делением на n − 1):

Какую версию брать, зависит от данных. Если у вас все объекты совокупности и выводы только о них, используйте σ с делением на n. Если это часть совокупности (опрос, наблюдения за несколько месяцев, несколько предприятий отрасли), используйте s. В учебниках по общей теории статистики формулу часто пишут через σ, в прикладных расчетах и в Excel чаще берут s. Главное — указать в работе, какая формула применена.

Иногда встречаются и другие относительные показатели вариации:

Когда говорят просто «коэффициент вариации», имеют в виду первую строку. Остальные спрашивают реже, обычно в задачах по общей теории статистики.

Пример расчета по шагам

Возьмем данные о шести магазинах сети за месяц: выручку (тыс. ₽) и численность персонала (человек). Нужно понять, какой показатель колеблется сильнее.

Шаг 1. Средние.

Шаг 2. Отклонения и их квадраты — в таблице выше. Сумма отклонений в обоих столбцах равна нулю, значит, средние найдены верно.

Шаг 3. Стандартные отклонения. Шесть магазинов — выборка из сети, поэтому делим на n − 1 = 5:

Шаг 4. Коэффициенты вариации.

Вывод. Стандартное отклонение выручки (80) почти в 25 раз больше, чем численности (3,22), но сравнивать эти числа бессмысленно: единицы разные. По коэффициенту вариации численность персонала колеблется сильнее (24,8% против 16,3%). Обе совокупности однородны по правилу 33%, средние можно использовать как типичные значения.

Если считать по формуле генеральной совокупности (деление на n = 6), получится σ_x ≈ 73,03 и V_x ≈ 14,9%, σ_y ≈ 2,94 и V_y ≈ 22,6%. Вывод тот же, но числа другие. Поэтому в работе важно указывать формулу.

Для полноты — другие показатели для выручки: среднее линейное отклонение d̄ = 360 / 6 = 60 тыс. ₽, V_d = 60 / 490 ≈ 12,2%; размах R = 600 − 380 = 220 тыс. ₽, V_R ≈ 44,9%. Коэффициент осцилляции всегда выше, потому что опирается на два крайних значения.

Как рассчитать коэффициент вариации в Excel

Отдельной функции для коэффициента вариации в Excel нет, его собирают из двух функций. Если выручка находится в ячейках B2:B7:

Чтобы увидеть проценты, задайте ячейке формат «Процентный» (Главная → Число → %). Тогда 0,163 отобразится как 16% или 16,3% — в зависимости от числа знаков после запятой. Не умножайте на 100 и не ставьте процентный формат одновременно, иначе получится 1633%.

Порядок действий для курсовой:

1. Внесите данные в столбец, каждое наблюдение в отдельную ячейку.
2. Посчитайте среднее и стандартное отклонение в отдельных ячейках — так проще проверить промежуточные результаты.
3. Разделите отклонение на среднее и задайте процентный формат.
4. Если показателей несколько, протяните формулу по строке и сведите результаты в одну таблицу.

Надстройка «Пакет анализа» («Данные» → «Анализ данных» → «Описательная статистика») выдает среднее и выборочное стандартное отклонение, но коэффициента вариации в ее отчете нет — его придется посчитать отдельной формулой. Быстро проверить свой ряд можно онлайн:

Интерпретация: однородность совокупности и правило 33%

Самое распространенное правило в учебниках по статистике: если коэффициент вариации не превышает 33%, совокупность считается однородной, а среднее — типичным для нее. При V больше 33% совокупность неоднородна: в ней, скорее всего, смешаны разные по характеру группы (крупные и мелкие предприятия, разные регионы), и одно среднее их плохо описывает. Правило обычно приводят для распределений, близких к нормальному.

Для оценки силы вариации часто используют такую шкалу:

Границы условные, у разных авторов они немного отличаются. Если в методичке или у преподавателя другая шкала, используйте ее и сошлитесь на источник. Формулировка в тексте может быть такой: «Коэффициент вариации выручки составил 16,3%, что меньше 33%, следовательно, совокупность однородна по данному признаку и средняя выручка является ее типичной характеристикой».

Что делать, если V > 33%:

• проверить данные на ошибки ввода и выбросы;
• разбить совокупность на группы (например, по размеру предприятия) и посчитать средние и коэффициенты отдельно;
• вместе со средним указать медиану: при большой вариации она часто описывает типичное значение лучше.

Когда коэффициент вариации не работает

• Среднее близко к нулю. Знаменатель маленький, и коэффициент становится огромным даже при небольшом разбросе. Для прибыли, которая колеблется около нуля, показатель бессмыслен.
• Есть отрицательные значения. Среднее может оказаться отрицательным или нулевым, и интерпретация «процент от среднего» теряет смысл.
• Шкала без абсолютного нуля. Температура в градусах Цельсия, баллы по шкале «от −3 до +3», индексы с произвольной точкой отсчета. Коэффициент вариации для температуры в °C и в °F получится разным, хотя данные одни и те же.
• Очень мало наблюдений. На 3–4 значениях коэффициент неустойчив: одно новое наблюдение может сильно его сдвинуть.

Где применяют в курсовой и ВКР

• Проверка однородности перед анализом. Перед корреляционным анализом или построением модели методом наименьших квадратов проверяют, однородна ли совокупность: при сильной неоднородности выводы по средним ненадежны.
• Сравнение стабильности. Какой показатель колеблется сильнее: выручка или затраты, продажи товара А или Б, урожайность в двух районах.
• Финансы и риск. Коэффициент вариации доходности — риск на единицу средней доходности: из двух вложений с одинаковой доходностью менее рискованно то, у которого V меньше.
• Анализ динамики. Колеблемость ряда по месяцам показывает, насколько сезонен спрос.

Обычно коэффициент приводят в той же таблице, что среднее и стандартное отклонение, и обязательно дают вывод словами.

Если хотите, чтобы специалист проверил ваши расчеты и формулировки выводов, — проверка расчетов. А если нужен разбор статистической части курсовой на ваших данных, опишите задачу: отклики придут с ценой и сроком.

Частые вопросы