Дисперсия и стандартное отклонение: формулы, пример расчета и функции Excel

Что показывают дисперсия и стандартное отклонение

Дисперсия — это средний квадрат отклонения значений от их среднего. Стандартное отклонение — квадратный корень из дисперсии. Оба показателя отвечают на один вопрос: насколько сильно значения разбросаны вокруг среднего. Чем они больше, тем менее типично среднее для отдельных наблюдений.

На практике чаще приводят стандартное отклонение: оно измеряется в тех же единицах, что и исходные данные (рубли, штуки, баллы). Дисперсия измеряется в квадратах этих единиц, поэтому ее трудно истолковать, но она нужна в формулах: в дисперсионном анализе, регрессии, t-критерии Стьюдента.

Зачем нужен разброс, видно на простом примере. У двух магазинов в среднем по 12 заказов в день. Но у первого бывают дни с 7 и с 16 заказами, а у второго — всегда от 11 до 13. Среднее одинаковое, а работа устроена совсем по-разному. Одно среднее эту разницу не покажет, стандартное отклонение — покажет.

Формулы: генеральная и выборочная дисперсия

Есть две версии формулы. Различаются они только знаменателем.

Генеральная дисперсия — когда у вас есть все данные о совокупности (все сотрудники фирмы, все дни месяца, и выводы вы делаете только о них):

Выборочная (исправленная) дисперсия — когда данные — это выборка, а вывод вы делаете о более широкой совокупности (опросили 100 студентов, а говорите о всех студентах вуза):

Стандартное отклонение в обоих случаях — корень из соответствующей дисперсии:

Здесь xᵢ — отдельные значения, x̄ — среднее арифметическое, n — число наблюдений, Σ — сумма по всем наблюдениям.

Почему в выборке делят на n − 1

Отклонения считаются от выборочного среднего, а оно всегда «подстроено» под саму выборку. Из-за этого сумма квадратов отклонений получается немного меньше, чем была бы при отклонениях от истинного среднего совокупности. Деление на n − 1 вместо n исправляет это занижение, и выборочная дисперсия в среднем совпадает с дисперсией всей совокупности. При больших n разница почти незаметна, при малых — существенна.

В курсовых данные почти всегда выборочные (опрос, наблюдения за несколько месяцев, часть предприятий отрасли), поэтому по умолчанию используйте формулу с n − 1. Если методичка или преподаватель требуют другую, оформляйте по их требованию и укажите, какую формулу применили.

Пример расчета по шагам

Число заказов интернет-магазина за 8 дней:

12, 15, 9, 14, 10, 13, 16, 7

Шаг 1. Среднее.

Шаг 2. Отклонения от среднего и их квадраты. Удобнее всего свести в таблицу:

Проверка: сумма отклонений от среднего всегда равна нулю. Если у вас получилось не 0, ошибка в среднем или в вычитании.

Шаг 3. Дисперсия. Восемь дней — это выборка: по ней мы судим о работе магазина вообще. Поэтому делим на n − 1 = 7:

Для сравнения генеральная дисперсия: σ² = 68 / 8 = 8,5.

Шаг 4. Стандартное отклонение.

Для генеральной совокупности: σ = √8,5 ≈ 2,92 заказа.

Вывод: в среднем магазин получает 12 заказов в день, типичное отклонение от среднего — около 3 заказов.

У второго магазина с данными 11, 12, 12, 13, 11, 12, 13, 12 среднее тоже 12, но сумма квадратов отклонений равна всего 4, а s = √(4/7) ≈ 0,76 заказа. Именно эту разницу показывает картинка выше.

Упрощенная формула

Генеральную дисперсию можно найти и без таблицы отклонений: средний квадрат минус квадрат среднего.

Чтобы перейти к выборочной, умножьте результат на n / (n − 1): 8,5 · 8 / 7 ≈ 9,71. Формула удобна для ручного счета, но при больших числах она чувствительна к округлениям.

Коэффициент вариации

Стандартное отклонение нельзя напрямую сравнивать у показателей с разными средними или единицами: разброс 3 заказа при среднем 12 и 3 заказа при среднем 300 — это разные ситуации. Для сравнения используют коэффициент вариации — отклонение в процентах от среднего:

Для второго магазина: V = 0,76 / 12 · 100% ≈ 6%.

Границы условные и в разных учебниках немного различаются. Правило «до 33% — совокупность однородна» встречается в учебниках по статистике чаще всего. Если в методичке даны другие границы, используйте их.

Правило трех сигм

Если данные распределены примерно нормально (симметрично, «колоколом»), стандартное отклонение позволяет оценить, где лежит большинство значений:

• в пределах x̄ ± 1σ — около 68% значений;
• в пределах x̄ ± 2σ — около 95%;
• в пределах x̄ ± 3σ — около 99,7%.

Значения за пределами ±3σ встречаются очень редко, поэтому их проверяют как возможные выбросы или ошибки ввода.

Для нашего магазина: 12 ± 3,12, то есть от 8,88 до 15,12 заказа. В этот интервал попали 6 дней из 8 (75%), за его пределами — 16 и 7. Интервал трех сигм: от 2,65 до 21,35, все дни внутри, выбросов нет. На 8 наблюдениях доли не обязаны точно совпадать с 68% — правило описывает большие выборки.

Дисперсия для сгруппированных данных

Если данные даны в виде частот («11 заказов — 2 дня, 12 заказов — 4 дня, 13 заказов — 2 дня»), каждое отклонение умножают на частоту fᵢ, то есть на число повторений значения:

Для второго магазина: x̄ = (11 · 2 + 12 · 4 + 13 · 2) / 8 = 96 / 8 = 12. Сумма взвешенных квадратов отклонений: 1 · 2 + 0 · 4 + 1 · 2 = 4. Генеральная дисперсия 4 / 8 = 0,5, выборочная 4 / 7 ≈ 0,57 — тот же результат, что и по исходному ряду. Для интервального ряда в качестве xᵢ берут середины интервалов.

Как записать результат в курсовой

Стандартное отклонение обычно приводят рядом со средним: «среднее число заказов составило 12 ± 3,1 в день» или в таблице с колонками «среднее», «стандартное отклонение», «коэффициент вариации». Округляйте до одного-двух знаков после запятой, одинаково во всей работе. Обязательно сделайте вывод словами: что значит разброс для объекта исследования. Например: «спрос неравномерный, коэффициент вариации 26%, поэтому запас товара нужно планировать с учетом дней пиковой нагрузки». Таблица без интерпретации — частое замечание научного руководителя.

Функции Excel

Буква В в названии — выборка (n − 1), Г — генеральная совокупность (n). Старые функции ДИСП и СТАНДОТКЛОН работают по выборочной формуле и оставлены для совместимости. Все показатели сразу можно получить через «Данные» → «Анализ данных» → «Описательная статистика», если надстройка «Пакет анализа» включена. Там стандартное отклонение тоже выборочное.

Посчитать без Excel можно в онлайн-калькуляторе:

Разброс — основа следующих шагов анализа: от него зависят коэффициент корреляции и проверка гипотез. Если хотите, чтобы специалист проверил ваши расчеты и выводы, — помощь со статистикой.

Частые вопросы