Три способа описать «типичное» значение
Среднее, медиана и мода — меры центральной тенденции. Каждая отвечает на вопрос «какое значение типично для этих данных», но по-своему:
- среднее арифметическое — сумма всех значений, деленная на их количество;
- медиана — значение посередине упорядоченного ряда: половина данных меньше нее, половина больше;
- мода — значение, которое встречается чаще всего.
На симметричных данных все три показателя почти совпадают. На несимметричных — расходятся, и выбор показателя меняет вывод.
Пример: зарплаты в небольшой компании
Месячные зарплаты 12 сотрудников, тыс. руб.:
38, 42, 45, 45, 45, 48, 50, 52, 55, 60, 62, 120
Среднее
Медиана
Ряд уже упорядочен. Значений четное число (12), поэтому медиана — среднее двух центральных, 6-го и 7-го:
Если бы значений было нечетное число, медианой было бы ровно одно центральное значение.
Мода
Чаще всего встречается 45 (три раза):
Почему среднее «обманывает»
Среднее 55,2 тыс. руб. больше, чем получают 9 из 12 сотрудников. Причина — одно большое значение (120 тыс. руб., зарплата директора). Если его убрать, среднее упадет до 49,3 тыс. руб., а медиана — только с 49 до 48.
Это главное свойство: среднее чувствительно к выбросам, медиана — устойчива. Поэтому статистические службы, рассказывая о доходах населения, часто приводят именно медианную зарплату.
Какой показатель выбрать
| Ситуация | Лучший показатель | Почему |
|---|---|---|
| Данные примерно симметричны, без выбросов (рост, оценки за тест) | Среднее | Использует все значения, удобно для дальнейших расчетов |
| Есть выбросы или сильная асимметрия (доходы, цены квартир, время ответа) | Медиана | Не зависит от крайних значений |
| Порядковые данные (оценки «плохо — отлично», места в рейтинге) | Медиана | Среднее для порядковой шкалы не имеет смысла |
| Категории (цвет, марка, способ оплаты) | Мода | Других показателей у таких данных нет |
| Нужно понять «самый популярный размер или цену» | Мода | Отвечает именно на этот вопрос |
Взаимное расположение и асимметрия
По расположению трех показателей можно судить о форме распределения:
- Mo < Me < x̄ — правосторонняя (положительная) асимметрия: длинный «хвост» больших значений. Типично для доходов.
- x̄ < Me < Mo — левосторонняя асимметрия: «хвост» маленьких значений.
- x̄ ≈ Me ≈ Mo — распределение близко к симметричному.
В нашем примере 45 < 49 < 55,2 — правосторонняя асимметрия.
Как посчитать в Excel
| Показатель | Функция | Пример |
|---|---|---|
| Среднее | СРЗНАЧ | =СРЗНАЧ(A2:A13) |
| Медиана | МЕДИАНА | =МЕДИАНА(A2:A13) |
| Мода | МОДА.ОДН | =МОДА.ОДН(A2:A13) |
| Все моды, если их несколько | МОДА.НСК | =МОДА.НСК(A2:A13) |
В английской версии: AVERAGE, MEDIAN, MODE.SNGL, MODE.MULT. Если ни одно значение не повторяется, функция моды вернет ошибку #Н/Д — это значит, что моды нет.
Медиана и мода для интервального ряда
Если данные сгруппированы в интервалы (например, «30–40 тыс. руб.: 5 человек»), медиану и моду находят по формулам. Для медианы:
где x₀ — нижняя граница медианного интервала, h — ширина интервала, S₋₁ — накопленная частота до медианного интервала, fₘₑ — частота медианного интервала.
Для моды:
где fₘₒ — частота модального интервала, fₘₒ₋₁ и fₘₒ₊₁ — частоты соседних интервалов.
Бесплатный калькуляторОписательная статистика онлайнСреднее, медиана, квартили и стандартное отклонение для вашего рядаЧастые вопросы
Как найти медиану, если чисел четное количество?
Упорядочьте ряд по возрастанию и возьмите среднее арифметическое двух центральных значений. Для 12 чисел это 6-е и 7-е.
Может ли быть несколько мод?
Да. Если два значения встречаются одинаково часто и чаще остальных, распределение бимодальное. Если все значения встречаются по одному разу, моды нет.
Почему средняя зарплата выше, чем у большинства?
Несколько очень высоких зарплат увеличивают среднее, но почти не влияют на медиану. Поэтому для доходов медиана точнее отражает типичный уровень.
Что лучше указывать в курсовой: среднее или медиану?
Для симметричных данных — среднее, для данных с выбросами и асимметрией — медиану. Часто приводят оба показателя и объясняют разницу.
Обсуждение
Пока никто не написал. Можно быть первым.