Как решать пределы: алгоритм
Почти любой учебный предел решается по одной схеме:
- Подставьте предельное значение x в функцию. Если получилось конечное число — это и есть ответ.
- Если получилось выражение вида 0/0, ∞/∞, ∞ − ∞, 0·∞, 1^∞ — это неопределённость. Её нельзя «посчитать», нужно преобразовать функцию.
- Определите вид неопределённости и выберите приём: разложение на множители, деление на старшую степень, домножение на сопряжённое, замечательный предел, эквивалентные бесконечно малые или правило Лопиталя.
- После преобразования снова подставьте x и получите ответ.
Главная ошибка — пытаться сразу применять сложные приёмы, не подставив точку. Многие пределы из контрольных решаются обычной подстановкой: например, предел (x² + 1)/(x + 3) при x → 1 равен 2/4 = 1/2, и никаких преобразований не нужно.
Неопределённость 0/0: разложение на множители
Если числитель и знаменатель — многочлены и оба обращаются в ноль в точке a, значит, у обоих есть множитель (x − a). Его нужно выделить и сократить.
Пример 1. Найти предел (x² − 4)/(x − 2) при x → 2.
Подстановка даёт (4 − 4)/(2 − 2) = 0/0. Раскладываем числитель по формуле разности квадратов:
Сокращение законно, потому что при x → 2 сам x не равен 2. Теперь подставляем: 2 + 2 = 4. Ответ: 4.
Для квадратного трёхчлена удобно пользоваться формулой ax² + bx + c = a(x − x₁)(x − x₂), где x₁ и x₂ — корни. Один из корней вы уже знаете — это предельная точка a.
Неопределённость ∞/∞: деление на старшую степень
Когда x → ∞ и в числителе и знаменателе стоят многочлены, делим всё на x в старшей степени знаменателя. Все слагаемые вида 1/x, 1/x² стремятся к нулю.
Пример 2. Найти предел (3x² + 2x − 1)/(5x² − x + 4) при x → ∞.
Делим числитель и знаменатель на x²:
Ответ: 3/5. Полезное правило для отношения многочленов при x → ∞:
- степени числителя и знаменателя равны — предел равен отношению старших коэффициентов;
- степень числителя меньше — предел равен 0;
- степень числителя больше — предел равен бесконечности.
Неопределённость ∞ − ∞ с корнями: домножение на сопряжённое
Если под пределом разность, в которой есть корень, домножьте и разделите на сопряжённое выражение — ту же разность со знаком «плюс». Корни уйдут по формуле (a − b)(a + b) = a² − b².
Пример 3. Найти предел (√(x² + 3x) − x) при x → ∞.
Делим числитель и знаменатель на x (при x > 0 под корень он вносится как x²): 3/(√(1 + 3/x) + 1) → 3/(1 + 1) = 3/2. Ответ: 3/2.
Первый замечательный предел
Его используют, когда в пределе при x → 0 есть синус, тангенс или арксинус. Следствия: tg x/x → 1, arcsin x/x → 1, а также sin(kx)/x → k.
Пример 4. Найти предел sin(5x)/x при x → 0.
Домножим и разделим на 5: sin(5x)/x = 5 · sin(5x)/(5x). При x → 0 выражение 5x тоже стремится к нулю, поэтому дробь sin(5x)/(5x) стремится к 1. Ответ: 5.
Второй замечательный предел
Он раскрывает неопределённость 1^∞: основание стремится к единице, а показатель — к бесконечности. Число e ≈ 2,718. Удобная общая форма: (1 + k/x)^x → e^k.
Пример 5. Найти предел (1 + 2/x)^x при x → ∞.
Представим показатель так, чтобы он совпал с обратной величиной добавки: (1 + 2/x)^x = [(1 + 2/x)^(x/2)]². Выражение в квадратных скобках стремится к e. Ответ: e².
Эквивалентные бесконечно малые
При x → 0 многие функции ведут себя «почти как x». В произведениях и частных их можно заменять друг на друга — это часто быстрее, чем замечательные пределы.
| Функция при x → 0 | Эквивалентна |
|---|---|
| sin x, tg x, arcsin x, arctg x | x |
| ln(1 + x) | x |
| eˣ − 1 | x |
| aˣ − 1 | x · ln a |
| 1 − cos x | x²/2 |
| (1 + x)^k − 1 | k · x |
Пример. Предел ln(1 + 3x)/tg(2x) при x → 0. Заменяем: ln(1 + 3x) ~ 3x, tg(2x) ~ 2x. Получаем 3x/(2x) = 3/2.
Правило Лопиталя
Для неопределённостей 0/0 и ∞/∞ предел отношения функций равен пределу отношения их производных (если последний существует):
Важно: дифференцируются числитель и знаменатель по отдельности, а не дробь целиком по правилу частного.
Пример 6. Найти предел (1 − cos x)/x² при x → 0.
Подстановка даёт 0/0. Применяем правило: производная числителя — sin x, знаменателя — 2x. Получаем sin x/(2x) — снова 0/0. Применяем ещё раз: cos x/2 → 1/2. Ответ: 1/2. Тот же ответ даёт эквивалентность 1 − cos x ~ x²/2.
Перед контрольной уточните, разрешает ли преподаватель правило Лопиталя: на первых занятиях по пределам его часто запрещают, чтобы студенты освоили замечательные пределы и эквивалентности.
Проверка ответа
Предел можно проверить численно: подставьте значение x, очень близкое к предельному. Для примера 1 при x = 2,001 получаем (4,004001 − 4)/0,001 = 4,001 — близко к 4. Для пределов на бесконечности берите большие x: 1000, 10 000.
Для производных, которые нужны в правиле Лопиталя, пригодится калькулятор производной в точке — он показывает численное значение и помогает поймать ошибку.
Бесплатный калькуляторПроизводная в точке онлайнПосчитайте значение производной и сверьте с ручным решениемЕсли задача не поддаётся, можно разобрать её со специалистом: в разделе помощь по высшей математике опишите задание и выберите исполнителя по откликам.
Частые вопросы
С чего начинать решение предела?
Всегда с подстановки предельного значения x в функцию. Если получилось число — это ответ. Если неопределённость — определите её вид и выберите приём.
Какие бывают неопределённости?
Основные виды: 0/0, ∞/∞, ∞ − ∞, 0·∞, 1^∞, а также 0⁰ и ∞⁰. Последние три обычно сводят к 0/0 или ∞/∞ через логарифмирование.
Когда можно применять правило Лопиталя?
Только для неопределённостей 0/0 и ∞/∞, когда функции дифференцируемы в окрестности точки. Другие виды неопределённостей сначала приводят к этим двум.
Чем замечательные пределы отличаются от эквивалентностей?
Таблица эквивалентностей — это следствия замечательных пределов. Эквивалентности удобнее в произведениях и частных, а замечательные пределы — когда нужно показать полное решение.
Обсуждение
Пока никто не написал. Можно быть первым.